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Lotto „6 aus 49“ – wie berechnet man die Chancen?

Dass es sehr unwahrscheinlich ist, den Jackpot im klassischen Lotto „6 aus 49“ zu knacken, ist allgemein bekannt. Aber es ist nicht unmöglich. Allerdings liegt die Chance, das mit einem einzigen Tipp zu schaffen, bei etwa eins zu einhundertvierzig Millionen. Wie berechnet man so etwas und wie ermittelt man die Chancen für die etwas kleineren Gewinne, die ja auch nicht zu verachten sind?

Inhalt

Berechnungsgrundlagen – einfacher als gedacht

Dazu benötigt man sogenannte Kombinatorik, aber keine Angst, wer die Grundrechenarten und das Bruchrechnen einigermaßen beherrscht, kommt damit klar.

Um das Prinzip zu erklären, fange ich einfach mal mit etwas kleineren Zahlen an als 6 aus 49 – sagen wir 4 aus 10. Dann lassen sich die Berechnungen noch halbwegs im Kopf verfolgen.

Wir haben also eine Art Mini-Lotto mit zehn Kugeln, die die Zahlen von 1 bis 10 tragen. In der Lottoziehung werden vier Kugeln daraus gezogen. Ein Tipp enthält dementsprechend vier verschiedene Zahlen von 1 bis 10. Überlegen wir nun, wie viele Möglichkeiten es gibt, vier aus den zehn Kugeln zu ziehen.

Wir haben also unsere Trommel mit den zehn Kugeln darin und dazu vier Becher, in denen die gezogenen Kugeln landen.

Für die erste Kugel, also diejenige, die im ersten Becher landet, haben wir zehn Möglichkeiten, denn alle zehn Kugeln sind noch in der Trommel. Danach haben wir für die zweite Kugel nur noch neun Möglichkeiten, denn eine wurde ja bereits gezogen. Es gibt also 10 x 9 = 90 Möglichkeiten, um die ersten beiden Becher mit jeweils einer Kugel zu füllen.

Für den dritten Becher haben wir dann nur noch acht Kugeln zur Verfügung, also gibt es für das Füllen der ersten drei Becher mit jeweils einer Kugel insgesamt 10 x 9 x 8 = 720 Möglichkeiten.

Und schließlich stehen für die Ziehung der vierten Kugel noch sieben Stück zur Auswahl. Also gibt es insgesamt 10 x 9 x 8 x 7 = 5.040 Möglichkeiten für die Ziehung von vier aus zehn Kugeln.

Allerdings ist es egal, in welcher Reihenfolge die vier Kugeln gezogen werden. Nehmen wir an, es wurden die 5, dann die 1, anschließend die 10 und zuletzt die 3 gezogen. Das ist gleichbedeutend mit allen anderen Ziehungen, in denen genau diese vier Zahlen in den Bechern landen, egal in welcher Reihenfolge. Das Ergebnis wird immer aufsteigend sortiert angegeben, für unser Beispiel: 1, 3, 5, 10.

Wir müssen uns nun also noch überlegen, wie viele Möglichkeiten es gibt, vier gezogene Kugeln hintereinander anzuordnen, denn das sind alles gleichwertige Ergebnisse.

Wir haben also vier Kugeln, die hintereinander auf die vier Becher verteilt werden sollen. Es gibt vier Möglichkeiten für die Kugel im ersten Becher, dann nur noch drei für die Kugel im zweiten, zwei für die Kugel im dritten und eine für die Kugel im vierten Becher. Es sind also 4 x 3 x 2 x 1 = 24 Möglichkeiten.

Damit wissen wir, dass unter den 5.040 möglichen Ziehungen von 4 aus 10 jeweils 24 gleichwertig sind. Also gibt es nur 5.040 : 24 = 210 verschiedene Ergebnisse für die Ziehung 4 aus 10.

Wenn wir einen Tipp in diesem Mini-Lotto abgeben, ist die Gewinnwahrscheinlichkeit

1 : 210 = 0,00476 = 0,476%

Nun gibt es eine Schreibweise für diese Anzahl „4 aus 10“, und zwar

Ausgesprochen wird das „10 über 4“ oder auch „4 aus 10“. Das Ding heißt übrigens Binomialkoeffizient.

Das bedeutet genau das, was wir berechnet haben, und zwar

Allgemeiner ausgedrückt ist

Dabei müssen m > n > 0 sein, beides ganze Zahlen.

So steht das sicher in keinem Mathebuch, aber so kann man es sich am besten merken.

Stattdessen steht da meistens so etwas:

Das Ausrufezeichen „!“ steht dabei für den Operator „Fakultät“, sprich „m Fakultät“ bzw. „n Fakultät“. Um das zu begreifen, muss man jedoch auf keiner solchen gewesen sein. Das ist einfach nur das Produkt der Zahlen von 1 bis zur angegebenen Zahl, also

Wenn man das über und unter dem Bruchstrich jeweils ausschreibt und kürzt, kommt genau das heraus, das ich vorher genannt habe: über dem Bruchstrich das Produkt der n größten Zahlen und unter dem Bruchstrich das Produkt der n kleinsten Zahlen, jeweils aus 1 bis m.

Mehr Mathematik benötigen wir nicht, um uns nun den interessanteren Berechnungen für Lotto „6 aus 49“ zuzuwenden.

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Sechs Richtige

Beginnen wir mit dem Naheliegenden. Wie viele Möglichkeiten gibt es, 6 Zahlen aus 49 zu ziehen?

Lösung:

Um etwas vom Jackpot abzubekommen, muss man zusätzlich die Superzahl richtig haben. Als Superzahl wird eine Ziffer von 0 bis 9 gezogen. Wenn diese mit der Endziffer der Tippschein-Nummer übereinstimmt – jeder Tippschein hat eine Nummer, dann ist das der Hauptgewinn.

Für die Ziehung von 6 aus 49 und gleichzeitig einer Superzahl (1 aus 10) gibt es also genau

13.983.816 x 10 = 139.838.160

Möglichkeiten. So kommt man also auf die Chance für den Jackpotgewinn von rund eins zu einhundertvierzig Millionen, die ich ganz am Anfang genannt hatte.

Die Wahrscheinlichkeit, mit einem Tipp sechs Richtige zu haben – ich bezeichne diese mit W6 – beträgt also

In einem von zehn Fällen ist dann die Superzahl auch noch richtig, in neun von zehn Fällen nicht. Also ist die Wahrscheinlichkeit W6+ für sechs Richtige mit Superzahl

und die Wahrscheinlichkeit W6- für sechs Richtige ohne Superzahl

Besser verständlich ausgedrückt lässt sich auch schreiben:

W6+ = 1 : 139.838.160 = 0,00000000715 = 0,000000715%

W6- = 1 : 15.537.573,33 = 0,0000000644 = 0,00000644%

Wie sieht das nun mit den darunter liegenden Gewinnklassen aus? Für fünf, vier bzw. drei Richtige jeweils mit oder ohne Superzahl gibt es ja schließlich auch Gewinne und für zwei Richtige plus Superzahl ebenfalls.

Fünf Richtige

Beginnen wir mit fünf Richtigen und lassen die Superzahl zunächst außen vor. Wenn sechs Zahlen gezogen werden, lassen sich aus diesen sechs Gewinnzahlen genau „6 über 5“ Auswahlen von jeweils fünf Zahlen treffen. Das sind

Andererseits spiele ich mit einem Tipp, der sechs Zahlen enthält, ebenfalls sechs verschiedene Kombinationen aus jeweils fünf Zahlen.

Es ist also, als würde ich mit sechs Tipps an sechs Ziehungen einer Lotterie „5 aus 49“ anstelle von „6 aus 49“ teilnehmen. Meine Gewinnchance ist also 36mal so hoch wie die Gewinnchance eines Tipps in einer Ziehung „5 aus 49“. Und wie letztere ausgerechnet wird, wissen wir bereits. Für „5 aus 49“ gibt es

Möglichkeiten.

Die Wahrscheinlichkeit, mit einem Tipp aus fünf Zahlen bei einer Ziehung „5 aus 49“ alle Zahlen richtig zu haben. Beträgt also 1 : 1.906.884.

Bei sechs Tipps und sechs Ziehungen ist die Gewinnchance 36mal höher, also 36 : 1.906.884 = 1 : 52.969.

Allerdings ist das nicht die Wahrscheinlichkeit für genau fünf Richtige im Spiel „6 aus 49“, sondern für mindestens fünf Richtige, denn ob die sechste Zahl auch noch stimmt oder nicht, wird hier nicht betrachtet.

Ich bezeichne die Wahrscheinlichkeit für mindestens fünf Richtige mit einem Tipp bei einer Ziehung „6 aus 49“ mit Wmin5, dann ist

Um die Wahrscheinlichkeit W5 für genau fünf Richtige zu berechnen, brauchen wir von Wmin5 nur die Wahrscheinlichkeit für sechs Richtige W6 abzuziehen.

Nehmen wir nun die Sache mit der Superzahl hinzu. Auch hier handelt es sich in einem von zehn Fällen um fünf Richtige mit Superzahl und in neun von zehn Fällen um fünf Richtige ohne Superzahl. Die Wahrscheinlichkeiten dafür sind:

Etwas verständlicher ausgedrückt:

W5+ = 263 : 139.838.160 = 1 : 531.704,03 = 0,00000188 = 0,000188%

W5- = 789 : 46.612.720 = 1 : 59.078,23 = 0,0000169 = 0,00169%

Vier Richtige

Setzen wir diese Berechnungslogik für vier Richtige fort.

Mit einem aus sechs Zahlen bestehenden Tipp spielen wir automatisch fünfzehn Kombinationen aus jeweils vier Zahlen und eine Ziehung von sechs Zahlen entspricht fünfzehn Ziehungen von jeweils vier Zahlen.

Die Anzahl der Möglichkeiten für „4 aus 49“ beträgt

Also ist die Wahrscheinlichkeit Wmin4, mit einem Tipp mindestens vier Richtige zu haben

Um die Wahrscheinlichkeit für genau vier Richtige zu berechnen, müssen wir davon die Wahrscheinlichkeit für mindestens fünf Richtige abziehen:

Nun wieder die schon gewohnte Aufteilung in vier Richtige mit bzw. ohne Superzahl:

Verständlicher dargestellt:

W4+ = 221 : 2.118.760 = 1 : 9.587,15 = 0,000104 = 0,0104%

W4- = 1.989 : 2.118.760 = 1 : 1.054,24 = 0,000939 = 0,0939%

Drei Richtige

Zur Berechnung der Wahrscheinlichkeiten für drei Richtige brauche ich wohl nichts mehr zu erklären. Hier nur die Zahlen.

Wieder verständlicher ausgedrückt:

W3+ = 625 : 302.680 = 1 : 484,29 = 0,00206 = 0,206%

W3- = 1.125 : 60.536 = 1 : 53,81 = 0,0186 = 1,86%

Zwei Richtige mit Superzahl

Nun noch die Berechnungen für zwei Richtige, denn zwei Richtige mit Superzahl bringen ja auch noch einen kleinen Gewinn:

Und auch das wieder verständlicher ausgedrückt:

W2+ = 625 : 36.848 = 1 : 58,96 = 0,01696 = 1,696%

Zusammenfassung aller Wahrscheinlichkeiten

Uff! Was für eine Rechnerei! Hier noch einmal zusammengefasst sämtliche Gewinnwahrscheinlichkeiten für die einzelnen Gewinnklassen:

ErgebnisWahrscheinlichkeit
6 mit SZ0,000000715%
6 ohne SZ 0,00000644%
5 mit SZ 0,000188%
5 ohne SZ 0,00169%
4 mit SZ0,0104%
4 ohne SZ 0,0939%
3 mit SZ 0,206%
3 mit SZ1,86%
2 mit SZ 1,696%

Die Wahrscheinlichkeit Wgew, mit einem Tipp irgendetwas zu gewinnen, lässt sich nun einfach berechnen.

Verständlicher ausgedrückt:

Wgew = 1.425 : 36.848 = 1 : 25,86 = 0,0387 = 3,87%

Wenn man also 100mal jeweils einen Tipp Lotto „6 aus 49“ spielt, wird man ungefähr 3 bis 4 Mal gewinnen. In den meisten Fällen ist das sehr wenig, denn die beiden untersten Gewinnklassen machen zusammen bereits mehr als 3,5% aus.

Wahrscheinlichkeiten und Quoten

Stellen wir nun den Wahrscheinlichkeiten die Gewinnsummen gegenüber. Letztere richten sich jeweils danach, wie viele Spieler gewonnen haben. Je mehr das sind, desto kleiner fallen die Gewinne aus. Ich nehme als Beispiel die letzte Ziehung, in der es überhaupt jemanden gab, der sechs Richtige mit Superzahl hatte, also mit Jackpotgewinn.

Ich schreibe den Gewinn jeweils neben die Gewinnwahrscheinlichkeit.

ErgebnisWahrscheinlichkeitGewinnhöhe (10.10.2020)
6 mit SZ0,000000715%42.583.626,40 €
6 ohne SZ 0,00000644%701.292,40 €
5 mit SZ 0,000188%9.279,10 €
5 ohne SZ 0,00169%3.392,60 €
4 mit SZ0,0104%170,00 €
4 ohne SZ 0,0939%48,00 €
3 mit SZ 0,206%19,60 €
3 mit SZ1,86%10,90 €
2 mit SZ 1,696%6,00 €

Ein Tipp kostet 1,20 € plus Bearbeitungsgebühr des Spielscheins. Wie hoch diese ist, unterscheidet sich von Bundesland zu Bundesland. In den meisten Fällen sind das derzeit 0,60 €. Wenn man alle Tipps ausfüllt bzw. damit an mehreren Wochenziehungen teilnimmt, bleibt es bei einmal 0,60 €. Aber im ungünstigsten Fall, d. h. man möchte nur einmal mit einem Tipp teilnehmen, zahlt man dafür insgesamt 1,20 € + 0.60 € = 1,80 €.

Ich bin nun in meiner Betrachtung äußerst kulant und vernachlässige die Bearbeitungsgebühr, rechne also mit einem Einsatz von 1,20 € weiter – in dem Bewusstsein, dass die Sache also insgesamt noch schlechter ausfallen wird.

Betrachten wir die kleinen Gewinne, die man wahrscheinlich innerhalb einer über Jahre andauernden „Lotto-Karriere“ ab und zu erhalten wird. Für die zwei Richtigen mit Superzahl gibt es immer 6 €.

Nun ist 6 : 1,20 = 5. Man erhält also in 1,696% der Fälle das Fünffache seines Einsatzes zurück. Wenn es ein halbwegs faires Spiel wäre, müsste es stattdessen etwas mehr als das Fünfzigfache geben.

Nehmen wir eine Gewinnklasse höher. Interessanterweise ist die Wahrscheinlichkeit, drei Richtige ohne Superzahl zu haben, höher als die für zwei Richtige mit Superzahl. In der Beispielziehung gab es dafür 10,90 €. Das ist immerhin etwa das Neunfache des Einsatzes. Aber auch hier wäre aufgrund der Wahrscheinlichkeit etwas mehr als das Fünfzigfache fair.

Ich berechne, indem ich den Gewinn durch den Einsatz teile, eine relative Quote. Bei einem fairen Spiel ist die relative Quote multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit gleich 1.  

Ich rechne das mal aus Spaß für die obigen Beispielgewinne aus:

Ergebnis(Quote : Einsatz) x Wahrscheinlichkeit
(Bsp. 10.10.2020)
6 mit SZ0,254
6 ohne SZ 0,0376
5 mit SZ 0,0145
5 ohne SZ 0,0478
4 mit SZ0,0147
4 ohne SZ 0,0375
3 mit SZ 0,0336
3 mit SZ0,169
2 mit SZ 0,0848

Fazit

Das ist eigentlich nicht verwunderlich: Lotto „6 aus 49“ ist von einem fairen Spiel weit entfernt, denn es ist von vornherein so konzipiert, dass nur 50% der gesamten Spieleinsätze wieder als Gewinne ausgeschüttet werden.

Immerhin werden von den echten Gewinnen, womit ich nicht die Spielgewinne, sondern die anderen 50% meine, nach Abzug von Steuern und Betriebskosten soziale Organisationen, Sport, Kultur, Umwelt- und Denkmalschutz unterstützt.

Lotto „6 aus 49“ kann man als Spende mit mikroskopisch kleiner Gewinnchance ansehen.

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Mehr?

Die Zusatzspiele Super 6 und Spiel 77 habe ich hier mit Absicht nicht betrachtet. Zum einen, weil der Artikel schon lang genug ist und zum anderen, weil die Berechnungen dafür sehr einfach sind.

Außer dem Lotto „6 aus 49“ gibt es eine Menge ähnlich gearteter Glücksspiele. Vielleicht veröffentliche ich demnächst hier auch etwas darüber, je nachdem, wie groß das Interesse für diesen Artikel ist.

Ich habe da so eine Idee, „das kleinste Übel“ von den ganzen Glücksspiel-Angeboten zu küren.

Disclaimer

Mag sein, dass ich irgendwo in meinen Berechnungen Fehlerchen gemacht habe, vielleicht habe ich mich auch mal vertippt. Aber egal, in etwa kommt das schon so hin.

7 Antworten auf „Lotto „6 aus 49“ – wie berechnet man die Chancen?“

Klasse !, wie ich es kenne von hier. Du gibst Werkzeuge an die Hand, die man sofort auf eigene Fragestellunbgen anwenden möchte. Für investoren ist der Erwartungswert von zentraler Bedeutung und die Fragestellung ist etwas anders:

Üblicherweise „kennt“ man hier Wahrscheinlichkeiten aus Statistiken (z.B. Ausfall von Krediten bei einer Klasse von Schuldnern). Welchen Gewinn (Verzinsung/Versicherungsgebühr) ist hier fair und welche Rolle spielt die Anzahl der Versuche (Diversifikation) und damit der Drawdown ?

Grüße

Liken

Danke für das Lob, Johannes.
Der Erwartungswert ist auch hier von Bedeutung:
Wenn du die Zahlen der letzten Tabelle addierst, siehst du z. B. den Erwartungswert, wie viel Euro in etwa aus einem eingesetzten Euro werden. Eigentlich ist es weniger, denn ich habe die Bearbeitungsgebühren weggelassen.

Liken

Schöne Berechnung.
Ich hatte mich in den 80er/90er Jahren sehr ausführlich mit dem Samstagslotto und Statistik befasst. Damals war ich wohl der Erste, der alle Lottoziehungen mit den Zahlen in Ziehungsfolge und den entsprechenden Quoten auf Diskette erfasst hat.
Es war meine erste private Programmierung, damals noch in MS-BASIC und die erste Berechnung mit Zahlen aus etwa 28 Jahren dauerte über 24h.
Es waren auch zwei Routinen notwendig, weil es Anfangs noch keine Zusatzzahl gab.
Es ist mir auch gelungen, die Trefferquote durch statistische Auswertung zu erhöhen. In die Gewinnzone kann man aber trotzdem nicht gelangen. Daran ist natürlich überwiegend die Auszahlungsquote der Einsätze von 50% schuld.
Als Gegenbeispiel könnte man auch annehmen, alle Lottospieler würden eine Tippgemeinschaft bilden, und die Gewinne aus einem Topf entsprechend Ihrer Einsätze aufteilen. Dann würde jeder Mitspieler genau die Hälfte seines Einsatzes ohne Bearbeitungsgebühr zurück bekommen. (Den Jackpot mal nicht berücksichtigt)

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Hallo Petra!
Das war richtig gut. Wieder so viel Mühe, wie bei deinen Aktiendepot-Berechnungen. Besonders gelungen fand ich diese Formulierung: „Lotto „6 aus 49“ kann man als Spende mit mikroskopisch kleiner Gewinnchance ansehen.“ Genial!
Gruß Reinhard.

Gefällt 1 Person

Vielen Dank. Wenn bei meinen Kollegen mal wieder das Jackpotfieber ausbricht schicke ich den Link auf diese Seite. Oder vielleicht doch nicht und ich lass Sie weiterträumen 😉
VG, Bonanza

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